Ergänzungsblock · Gymnasium / BLF

Funktionstypen & ihre Graphen

Bis hierher kennst du zwei Formen: die Gerade (linear) und die Parabel (quadratisch). Am Gymnasium kommen weitere Funktionstypen dazu – jeder mit einer typischen Kurvenform.

Wer diese Formen kennt, erkennt Graph und Gleichung sofort wieder – genau das wird in der BLF verlangt. Zwei Beziehungen verbinden die neuen Typen: der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, und Sinus und Kosinus kommen vom Einheitskreis.

Gymnasium / BLF ✎ Kurvenform erkennen: ohne Rechner

Potenzfunktionen $f(x)=x^n$

Graphen von x hoch 2, x hoch 3 und x hoch 4 — Gerade Hochzahlen sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch.

Die Form hängt allein davon ab, ob die Hochzahl $n$ gerade oder ungerade ist:

gerade $n$ ($x^2, x^4, \dots$): beide Äste nach oben, achsensymmetrisch zur y-Achse. Man nennt das eine gerade Funktion.
ungerade $n$ ($x^3, x^5, \dots$): ein Ast unten, einer oben, punktsymmetrisch zum Ursprung – eine ungerade Funktion.

Alle gehen durch $(0\,|\,0)$ und $(1\,|\,1)$. Je größer $n$, desto flacher nahe null und desto steiler außen.

Ist die Hochzahl negativ ($x^{-1}=\tfrac1x$), entsteht eine Hyperbel mit zwei getrennten Ästen und den Achsen als Asymptoten.

Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^{\,x}$

Jetzt steht das $x$ im Exponenten. Pro Schritt nach rechts wird mit demselben Faktor $b$ multipliziert (der Faden aus Block 2).

$b>1$: Wachstum, die Kurve wird immer steiler. $0Zerfall, sie fällt gegen null.
Der Graph ist immer positiv und nähert sich der x-Achse an, ohne sie zu berühren (Asymptote $y=0$).
Er geht durch $(0\,|\,a)$ – bei $a=1$ also durch $(0\,|\,1)$.

Exponentielles Wachstum und Zerfall — $2^x$ verdoppelt sich pro Schritt, $0{,}5^{\,x}$ halbiert sich.

Logarithmusfunktionen $f(x)=\log_b x$

Logarithmusfunktion als Spiegelung der Exponentialfunktion — Der Logarithmus ist die an $y=x$ gespiegelte Exponentialkurve.

Der Logarithmus macht das Potenzieren rückgängig – er ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:

$b^{\,y}=x \;\;\Longleftrightarrow\;\; y=\log_b x$

Nur für $x>0$ definiert; senkrechte Asymptote bei $x=0$.
Geht durch $(1\,|\,0)$ (denn $b^0=1$) und wächst immer langsamer.
Nutzen: löst Gleichungen wie $b^{\,x}=c$ nach $x$ auf (z. B. „nach wie vielen Jahren?" in Block 2).

Trigonometrische Funktionen $\sin x,\ \cos x$

In Block 5 waren Sinus und Kosinus Seitenverhältnisse im Dreieck. Als Funktion kommen sie vom Einheitskreis: Ein Punkt läuft auf dem Kreis mit Radius 1; für den Winkel $x$ ist $\cos x$ seine x-Koordinate und $\sin x$ seine y-Koordinate.

Einheitskreis: cos x ist die x-Koordinate, sin x die y-Koordinate — Am Einheitskreis: $\cos x$ waagerecht, $\sin x$ senkrecht.

Sinus- und Kosinuskurve mit Periode und Amplitude — Läuft der Punkt herum, entsteht eine Welle: periodisch mit 360°, Werte zwischen −1 und +1.

Periodisch: nach 360° (bzw. $2\pi$) wiederholt sich alles.
Die Werte liegen immer zwischen $-1$ und $+1$ (Amplitude 1).
$\sin$ und $\cos$ haben dieselbe Wellenform, nur um 90° verschoben.
Modell für alles Periodische: Schwingungen, Tageslängen, Wechselstrom.

Auf einen Blick: welche Form gehört wozu?

Kurvenform	Funktionstyp
Gerade	linear $mx+n$
Parabel (U-Form)	quadratisch / Potenz mit geradem $n$
Punktsymmetrische „S-Form"	Potenz mit ungeradem $n$
Immer positiv, explodiert oder fällt gegen null	exponentiell $b^{\,x}$
Nur für $x>0$, langsam steigend	Logarithmus $\log_b x$
Welle (auf und ab)	trigonometrisch $\sin x,\ \cos x$

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Skizziere $f(x)=2^{\,x}$ und $g(x)=\log_2 x$ in ein Koordinatensystem. Was fällt beim Vergleich auf?

Hinweise – ohne fertige Lösung

$2^{\,x}$ geht durch $(0\,|\,1)$ und wächst; $\log_2 x$ geht durch $(1\,|\,0)$ und ist nur für $x>0$ da.
Zeichne zusätzlich die Gerade $y=x$ – an ihr sind die beiden Kurven gespiegelt (Umkehrfunktion).

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Ist $f(x)=x^4$ achsen- oder punktsymmetrisch?
Berechne für $f(x)=2^{\,x}$ die Werte $f(0)$ und $f(3)$.
Bestimme $\log_2 8$.
Periode und Wertebereich von $\sin x$?

Ergebnisse

a) gerade Hochzahl → achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) $f(0)=1$, $f(3)=2^3=8$.
c) $\log_2 8=3$, denn $2^3=8$.
d) Periode $360°$; Werte zwischen $-1$ und $+1$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Potenz- und Exponentialfunktion nicht verwechseln: bei $x^2$ steht $x$ in der Basis, bei $2^{\,x}$ im Exponenten – völlig verschiedene Graphen.
Die Exponentialkurve wird nie null und nie negativ – sie berührt die x-Achse nicht (Asymptote).
Der Logarithmus ist nur für $x>0$ definiert; $\log_b x$ fragt: „$b$ hoch was ist $x$?"
Gerade Hochzahl → achsensymmetrisch, ungerade Hochzahl → punktsymmetrisch.
$\sin$ und $\cos$ liegen immer zwischen $-1$ und $+1$; für Zahlenwerte den Rechner in den Gradmodus stellen.