Block 8

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen beschreiben alles, was mit konstanter Rate wächst oder fällt: einen Handytarif (Grundgebühr plus Preis pro Minute), Taxikosten, einen Tank, der gleichmäßig ausläuft.

Ihr Graph ist immer eine Gerade. Und weil sie so überschaubar ist, versteht man an ihr überhaupt erst, was eine „Funktion" ist – deshalb ist sie die Grundlage für alle anderen Funktionstypen.

✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule

Grundlage: $y = mx + n$

Was ist eine Funktion? Eine Funktion ordnet jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zu. Bei einer linearen Funktion liegen alle diese Punkte auf einer Geraden. Ihre Gleichung ist immer $y=mx+n$.

Gerade mit y-Achsenabschnitt n und Steigungsdreieck — $y=0{,}5\,x+1$: der y-Achsenabschnitt $n$ und die Steigung $m$ über das Steigungsdreieck.

Zwei Zahlen legen die Gerade fest:

$m$ – die Steigung. Sie sagt, um wie viel $y$ steigt, wenn $x$ um $1$ größer wird. $m>0$ steigt, $m<0$ fällt, $m=0$ ist waagerecht.
$n$ – der y-Achsenabschnitt. Der $y$-Wert bei $x=0$, also dort, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Die Steigung aus zwei Punkten

ohne Rechner

Das Steigungsdreieck

Die Steigung ist die Höhenänderung geteilt durch die Schrittweite nach rechts:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Beispiel · durch $P(1\,|\,3)$ und $Q(3\,|\,7)$

$m=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$. Pro Schritt nach rechts geht die Gerade also 2 nach oben.

Die Gleichung aufstellen

So gehst du vor · aus zwei Punkten

Steigung $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ berechnen.
Einen der Punkte und $m$ in $y=mx+n$ einsetzen und $n$ ausrechnen.
$m$ und $n$ in $y=mx+n$ einsetzen – fertig.

Beispiel · $P(1\,|\,3)$ und $Q(3\,|\,7)$

Schritt 1$m=\dfrac{7-3}{3-1}=2$.

Schritt 2$P$ einsetzen: $3=2\cdot1+n \Rightarrow n=1$.

Schritt 3$y=2x+1$. (Probe mit $Q$: $2\cdot3+1=7$ ✓)

Ist statt zweier Punkte die Steigung und ein Punkt gegeben, überspringst du Schritt 1. Vom Graphen liest du $n$ am y-Achsenschnitt ab und $m$ über ein Steigungsdreieck.

Nullstelle & Graph zeichnen

ohne Rechner

Nullstelle

Die Nullstelle ist die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet, also wo $y=0$ ist. Man setzt $mx+n=0$ und löst nach $x$ auf.

$y=2x+1:\quad 0=2x+1 \;\Rightarrow\; x=-0{,}5$

So zeichnest du die Gerade

Den Punkt $(0\,|\,n)$ auf der y-Achse einzeichnen.
Von dort das Steigungsdreieck: $1$ nach rechts, $m$ nach oben (bei $m>0$) – zweiter Punkt.
Die Gerade durch beide Punkte ziehen.

Gut zu wissen (Gymnasium): Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung $m$ haben, und senkrecht zueinander, wenn $m_1\cdot m_2=-1$ ist.

Anwendung: zwei Tarife vergleichen

Zwei lineare Tarife als Geraden mit Schnittpunkt

Aufgabe

Tarif A kostet 10 € Grundgebühr plus 0,20 € pro Minute, Tarif B kostet 4 € plus 0,40 € pro Minute. Ab wann ist Tarif A günstiger?

Lösung

Schritt 1Modelle aufstellen: hier ist $n$ die Grundgebühr und $m$ der Preis pro Minute.
A: $K=0{,}2x+10$, B: $K=0{,}4x+4$.

Schritt 2„Gleich teuer" heißt gleichsetzen (wie beim Gleichungssystem): $0{,}2x+10=0{,}4x+4$.

Schritt 3Lösen: $6=0{,}2x \Rightarrow x=30$.

Schritt 4Bei 30 Minuten sind beide gleich teuer (je 16 €). Darüber ist Tarif A günstiger, darunter Tarif B.

Einordnung: linear, quadratisch, exponentiell

„Funktionale Zusammenhänge" heißt auch, die Typen auseinanderzuhalten. Der Unterschied steckt darin, wie sich $y$ ändert, wenn $x$ Schritt für Schritt wächst:

linear

Pro Schritt kommt immer dasselbe dazu (feste Differenz). Graph: Gerade. $y=mx+n$.

quadratisch

Enthält $x^2$. Graph: Parabel (Block 4). Wächst zunehmend schneller.

exponentiell

Pro Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert (Block 2). Wird am Ende am steilsten.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Bestimme die Gleichung der Geraden durch $A(-1\,|\,1)$ und $B(2\,|\,7)$ und gib ihre Nullstelle an.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Erst die Steigung: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ – auf die Vorzeichen achten, ein $x$-Wert ist negativ.
Dann einen Punkt einsetzen, $n$ bestimmen, Gleichung hinschreiben.
Für die Nullstelle $y=0$ setzen und nach $x$ auflösen.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Steigung der Geraden durch $P(2\,|\,1)$ und $Q(6\,|\,9)$.
Gleichung der Geraden mit Steigung $m=3$ durch $R(0\,|\,-2)$.
Nullstelle von $y=-\tfrac12 x+3$.

Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

a) $m=\dfrac{9-1}{6-2}=\dfrac{8}{4}=2$.
b) $n=-2$ ist direkt gegeben (Punkt auf der y-Achse): $y=3x-2$.
c) $0=-\tfrac12 x+3 \Rightarrow x=6$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Steigung ist $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ (Höhe durch Breite) – nicht umgekehrt.
$n$ und Nullstelle nicht verwechseln: $n$ ist der $y$-Wert bei $x=0$; die Nullstelle ist der $x$-Wert bei $y=0$.
Bei der Steigung aus zwei Punkten oben und unten in gleicher Reihenfolge rechnen (beide $P$ zuerst).
Negative Steigung heißt: die Gerade fällt.
„Gleich teuer / Schnittpunkt" heißt gleichsetzen (führt auf eine Gleichung wie in Block 1).
🟩 Oberschule: Formelsammlung nutzen – die Steigungsformel steht dort.