Block 7

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Zwei Alltagsfragen stecken hinter diesem Thema: „Wie fasse ich viele Daten in wenigen Zahlen zusammen?" und „Wie berechne ich die Chance bei einem Zufall?"

Das sind zwei verschiedene Werkzeugkästen – deshalb ist der Block in zwei Teile geteilt.

✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule
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Daten beschreiben (Statistik)

Die wichtigsten Kennzahlen
MittelwertSumme aller Werte $:$ Anzahlder „Durchschnitt"
Mediander mittlere Wert der sortierten Listeteilt die Daten in zwei Hälften
Modalwertder am häufigsten vorkommende Wert
Spannweitegrößter Wert $-$ kleinster Wertwie weit streuen die Daten?
Beispiel · wöchentliches Taschengeld: 5, 8, 10, 10, 12, 60 (in €)
Mittelwert: $(5+8+10+10+12+60):6=105:6=17{,}5$  → 17,50 €.
Median: Liste ist sortiert, bei 6 Werten die Mitte aus dem 3. und 4.: $(10+10):2=10$  → 10 €.
Warum zwei verschiedene „Mitten"?

Ein einziger Ausreißer (die 60) zieht den Mittelwert stark nach oben – 17,50 € beschreibt die Gruppe schlecht, fast alle bekommen ja weniger. Der Median (10 €) bleibt davon unberührt und passt hier besser. Deshalb schaut man oft auf beide.

Zahlenstrahl: der Ausreißer zieht den Mittelwert vom Median weg
Der Ausreißer zieht nur den Mittelwert – der Median bleibt stabil.
Der Boxplot – Daten auf einen Blick

Ein Boxplot zeigt fünf Kennzahlen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil, Maximum. Die Box enthält die mittleren 50 % der Daten, der Strich darin ist der Median, die „Antennen" reichen bis zum kleinsten und größten Wert.

Aufbau eines Boxplots mit Quartilen und Median
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Zufall berechnen (Wahrscheinlichkeit)

Woher kommt eine Wahrscheinlichkeit? Die relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist $\dfrac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Anzahl der Versuche}}$. Führt man einen Zufallsversuch sehr oft durch, pendelt sie sich immer näher bei der Wahrscheinlichkeit ein – das ist das Gesetz der großen Zahlen.

Relative Häufigkeit von Kopf nähert sich mit vielen Würfen dem Wert 0,5
Je mehr Würfe, desto näher liegt die relative Häufigkeit an der Wahrscheinlichkeit.
Die Grundidee (Laplace)

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt:

$$P(\text{Ereignis})=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$$

Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen $0$ und $1$ (also 0 bis 100 %).  Würfel: $P(6)=\tfrac16$,  $P(\text{gerade})=\tfrac36=\tfrac12$.

Gegenereignis: $P(\text{nicht }A)=1-P(A)$ – oft der schnellste Weg, besonders bei „mindestens ein …".

Wie viele Möglichkeiten gibt es? (Kombinatorik)

Manchmal muss man erst die Anzahl der Möglichkeiten zählen – etwa für den Nenner bei Laplace. Die Grundregel (Zählprinzip): Bei mehreren Stufen werden die Anzahlen multipliziert.

ZählprinzipStufe für Stufe die Anzahlen multiplizierenMenü $3\cdot4\cdot2=24$
Anordnungen$n$ Dinge in eine Reihenfolge bringen: $n!$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$
Eher am Gymnasium: Wählt man $k$ Dinge aus $n$ ohne Reihenfolge (z. B. beim Lotto), nutzt man den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$.
Mehrstufige Versuche: das Baumdiagramm

Passiert etwas in mehreren Stufen (zweimal ziehen, dreimal werfen), zeichnet man einen Baum. Für ihn gelten zwei Regeln:

Pfadregel 1Entlang eines Pfades wird multipliziert.(Produktregel)
Pfadregel 2Mehrere Pfade zu einem Ereignis werden addiert.(Summenregel)
Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen
Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ohne Zurücklegen ziehen.
Auswerten
Beide rot (ein Pfad, Produktregel): $\tfrac35\cdot\tfrac24=\tfrac{3}{10}$.
Gemischt (zwei Pfade, Summenregel): $\tfrac{3}{10}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{6}{10}=\tfrac35$.
Mindestens eine rot (Gegenereignis): $1-\tfrac{1}{10}=\tfrac{9}{10}$.

Ohne Zurücklegen ändern sich die Zahlen in der 2. Stufe (eine Kugel fehlt, der Nenner wird kleiner). Mit Zurücklegen blieben sie gleich. Kontrolle: Alle Pfad-Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben immer $1$.

Eher am Gymnasium: bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel (zwei Merkmale in einer Tabelle) begegnen dir vor allem in der BLF-Vorbereitung.
Zufallsgröße & Erwartungswert

Ordnet man jedem Ergebnis eine Zahl zu (Gewinn, Augenzahl, …), ist das eine Zufallsgröße. Ihr Erwartungswert ist der Wert, der sich auf lange Sicht im Durchschnitt einstellt: jeder mögliche Wert mal seiner Wahrscheinlichkeit, alles zusammengezählt.

$$E=\text{Wert}_1\cdot P_1+\text{Wert}_2\cdot P_2+\dots$$
Beispiel · Glücksrad
Ein Glücksrad zahlt: mit $\tfrac12$ nichts, mit $\tfrac13$ genau 3 €, mit $\tfrac16$ genau 12 €.
$E=0\cdot\tfrac12+3\cdot\tfrac13+12\cdot\tfrac16=0+1+2=3$  → auf Dauer im Schnitt 3 € pro Spiel.
Ein faires Spiel wäre es genau dann, wenn der Einsatz 3 € beträgt – dann sind Gewinn und Einsatz im Schnitt gleich.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

In einem Beutel sind 4 rote und 6 grüne Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln?

Hinweise – ohne fertige Lösung

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. Datensatz 4, 7, 7, 9, 13: Mittelwert, Median und Spannweite.
  2. Ein Würfel wird geworfen: $P(\text{mindestens 5})$?
  3. Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ohne Zurücklegen: $P(\text{beide blau})$?
  4. Wie viele dreistellige Codes lassen sich aus den Ziffern 0–9 bilden?
  5. Ein Glücksrad zahlt mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac14$ genau 8 €, sonst nichts. Erwartungswert pro Spiel?
Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es