Block 6

Körperberechnungen

Wie viel passt hinein, und wie viel Material umhüllt es? Das sind die beiden Fragen bei jedem Körper – von der Konservendose über die Eistüte bis zum Getreidesilo.

Die gute Nachricht: Man muss die vielen Formeln nicht auswendig können (sie stehen in der Formelsammlung). Wichtig ist, den Körper zu erkennen, die richtigen Stücke abzulesen – und zu wissen, dass fast alles auf zwei Grundtypen zurückgeht.

✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule

Zuerst: Volumen oder Oberfläche?

Volumen $V$ ist der Platz im Inneren (Rauminhalt) – gemessen in Kubikeinheiten ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$). Bild: füllen (wie viel Wasser passt rein?).
Oberfläche $O$ ist die gesamte Außenhaut – gemessen in Quadrateinheiten ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$). Bild: einpacken (wie viel Papier zum Umwickeln?). Die Oberfläche ist immer die Summe aller einzelnen Flächen.

Der rote Faden: zwei Grundtypen

Fast jeder Körper gehört zu einem von zwei Typen. Säulen (überall gleich dick) haben $V=G\cdot h$. Spitzkörper (laufen zu einer Spitze zusammen) haben genau ein Drittel davon: $V=\tfrac13\,G\cdot h$. Dabei ist $G$ immer die Grundfläche, $h$ die Höhe.

Zylinder mit V=G mal h und Kegel mit V=ein Drittel G mal h — Ein Kegel passt genau dreimal in den Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe – daher das $\tfrac13$.

Säulen · Prisma & Zylinder

$V=G\cdot h$

Grundfläche $G$: beim Prisma die Fläche des Grundvielecks, beim Zylinder ein Kreis, also $G=\pi r^2$. Oberfläche $=2\,G+$ Mantel (beim Zylinder Mantel $=2\pi r\cdot h$).

Spitzkörper · Pyramide & Kegel

$V=\dfrac{1}{3}\,G\cdot h$

Grundfläche $G$ wie bei der Säule (Kegel: $G=\pi r^2$). Die Höhe $h$ ist die senkrechte Höhe bis zur Spitze – nicht die schräge Seitenlinie!

Sonderfall Kugel

Die Kugel hat eigene Formeln – und man braucht dafür nur den Radius $r$:

$V=\dfrac{4}{3}\,\pi r^3 \qquad O=4\pi r^2$

Der Knackpunkt: Pythagoras im Körper

Sehr oft fehlt für die Oberfläche (oder eine Höhe) genau ein Stück – und man bekommt es mit dem Satz des Pythagoras aus Block 5. Das ist der Schritt, der die meisten Körperaufgaben erst lösbar macht.

Kegel mit Radius, Höhe und Mantellinie als rechtwinkliges Dreieck — Im Kegel bilden $r$, $h$ und die Mantellinie $s$ ein rechtwinkliges Dreieck.

Beim Kegel braucht man für den Mantel die schräge Mantellinie $s$. Sie ist die Hypotenuse aus Radius und Höhe:

$s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Genauso findet man die Höhe eines Pyramiden-Seitendreiecks oder die Raumdiagonale im Quader $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Beispiel: der Silo

Silo aus Zylinder mit aufgesetztem Kegel

Aufgabe

Ein Silo besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Beide haben den Radius $r=2\,\text{m}$. Der Zylinder ist $5\,\text{m}$ hoch, der Kegel $3\,\text{m}$. Wie viel Volumen fasst der Silo insgesamt?

Lösung

Schritt 1Körper zerlegen: unten ein Zylinder, oben ein Kegel – beide mit $G=\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi$.

Schritt 2Zylinder (Säule): $V_1=G\cdot h=4\pi\cdot5=20\pi\approx 62{,}8\,\text{m}^3$.

Schritt 3Kegel (Spitzkörper): $V_2=\tfrac13\,G\cdot h=\tfrac13\cdot4\pi\cdot3=4\pi\approx 12{,}6\,\text{m}^3$.

Schritt 4Zusammenzählen: $V=V_1+V_2\approx 75{,}4\,\text{m}^3$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe · die Konservendose

Eine zylindrische Dose hat den Radius $3\,\text{cm}$ und ist $10\,\text{cm}$ hoch. Berechne ihr Volumen und ihre Oberfläche.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Zylinder ist eine Säule: $V=G\cdot h$ mit $G=\pi r^2$.
Oberfläche = zwei Kreisdeckel ($2\cdot\pi r^2$) plus der Mantel ($2\pi r\cdot h$).
Aufpassen: Gegeben ist der Radius – nicht der Durchmesser.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Zylinder mit $r=5\,\text{cm}$, $h=10\,\text{cm}$: Volumen?
Kegel mit $r=3\,\text{cm}$, $h=4\,\text{cm}$: Mantellinie $s$ und Volumen?
Kugel mit $r=6\,\text{cm}$: Volumen?

Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

a) $V=\pi\cdot5^2\cdot10=250\pi\approx 785\,\text{cm}^3$.
b) $s=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{cm}$; $V=\tfrac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\approx 37{,}7\,\text{cm}^3$.
c) $V=\tfrac43\pi\cdot6^3=288\pi\approx 904{,}8\,\text{cm}^3$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Volumen und Oberfläche nicht verwechseln: Volumen in $\text{cm}^3$, Oberfläche in $\text{cm}^2$.
Bei Spitzkörpern (Pyramide, Kegel) das $\tfrac13$ nicht vergessen.
Radius statt Durchmesser: ist $d$ gegeben, gilt $r=\tfrac{d}{2}$.
Für den Mantel eines Kegels die Mantellinie $s$ per Pythagoras bestimmen – nicht die Höhe $h$ einsetzen.
Die Grundfläche ist eine Fläche ($\pi r^2$), nicht der Umfang ($2\pi r$).
Einheiten: $1\,\text{dm}^3=1\,\text{Liter}$, $1\,\text{m}^3=1000\,\text{Liter}$.
🟩 Oberschule: alle Formeln stehen in der Formelsammlung – nachschlagen statt auswendig quälen.