Block 5

Ebene Geometrie: Dreiecke & Kreis

Mit diesen Werkzeugen berechnet man Längen und Winkel, die man nicht direkt messen kann – die Höhe eines Turms aus seinem Schatten, die Länge einer Rampe, ob eine Leiter weit genug reicht.

Das Rechnen selbst ist dabei nicht das Schwierige. Der eigentliche Punkt ist die Entscheidung: Welche Figur liegt vor, was ist gegeben, was gesucht – und welches Werkzeug gehört dazu? Damit fangen wir an, denn dieser Baum ordnet das ganze Thema.

Ein Dreieck berechnen

Hat das Dreieck einen rechten Winkel (90°)?

JA · rechtwinkliges Dreieck

Es geht nur um Seiten (kein Winkel)▾

Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$

Ein Winkel ist im Spiel▾

Sinus · Kosinus · Tangens

NEIN · allgemeines Dreieck

Kein rechter Winkel vorhanden▾

Sinussatz / Kosinussatz

Fast alles in diesem Block hängt an der obersten Frage. Ist ein rechter Winkel da, hast du es leicht – dann greifen Pythagoras und die drei Winkelfunktionen. Erst wenn keiner da ist, brauchst du die beiden Sätze für das allgemeine Dreieck (die Erweiterung am Ende).

Danach kommen noch zwei weitere ebene Themen dazu: die Ähnlichkeit (mit den Strahlensätzen) und die Kreisberechnung.

✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule

Grundlage: das rechtwinklige Dreieck

Bevor die Werkzeuge kommen, müssen die Seiten einen Namen haben – das ist die Grundlage, um überhaupt richtig rechnen zu können.

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse und zwei Katheten — Für den Pythagoras: die feste Benennung.

Die Hypotenuse ist die längste Seite. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel – das kleine Kästchen zeigt ihn an.

Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Im Satz des Pythagoras sind das $a$ und $b$, die Hypotenuse ist $c$.

Sobald ein Winkel ins Spiel kommt, bekommen die beiden Katheten zusätzlich Namen – aber relativ zu diesem Winkel $\alpha$:

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.
Die Ankathete liegt direkt am Winkel an (die Kathete, nicht die Hypotenuse).

Wichtig: Schaust du auf den anderen spitzen Winkel, tauschen Gegen- und Ankathete die Rollen. Deshalb immer zuerst den Winkel markieren, dann benennen.

Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse relativ zum Winkel alpha — Für Sinus/Kosinus/Tangens: alles relativ zum Winkel $\alpha$.

Satz des Pythagoras

oft ohne Rechner

Wann?

Rechtwinkliges Dreieck, und es geht nur um Seitenlängen (kein Winkel). Verbindet die drei Seiten:

$$a^2+b^2=c^2 \qquad (c=\text{Hypotenuse})$$

So gehst du vor

Finde die Hypotenuse $c$ (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel).
Setze die bekannten Seiten in $a^2+b^2=c^2$ ein.
Nach der gesuchten Seite umstellen und die Wurzel ziehen.

Beispiel A · Hypotenuse gesucht, Katheten $3$ und $4$

Schritt 1Gesucht ist $c$ (die Hypotenuse).

Schritt 2$3^2+4^2=c^2$.

Schritt 3$c^2=9+16=25 \Rightarrow c=\sqrt{25}=5$.

Beispiel B · Kathete gesucht, Hypotenuse $13$, Kathete $5$

Schritt 1Die $13$ ist die Hypotenuse $c$, gesucht ist die Kathete $b$.

Schritt 2$5^2+b^2=13^2$.

Schritt 3$b^2=169-25=144 \Rightarrow b=\sqrt{144}=12$.

✎ Ein paar Zahlentripel lohnt es sich zu kennen, dann geht der Pythagoras ohne Rechner: $3\,{-}\,4\,{-}\,5$, $5\,{-}\,12\,{-}\,13$, $8\,{-}\,15\,{-}\,17$.

Sinus, Kosinus & Tangens

Wann?

Rechtwinkliges Dreieck, aber jetzt ist ein Winkel beteiligt – gegeben oder gesucht. Die drei Funktionen verbinden einen Winkel mit einem Seitenverhältnis:

$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\qquad \cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\qquad \tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$

So gehst du vor · eine Seite ist gesucht (Winkel + eine Seite gegeben)

Winkel markieren, Seiten relativ dazu benennen (Gegen-, Ankathete, Hypotenuse).
Die Funktion wählen, in der die gegebene und die gesuchte Seite vorkommen.
Nach der gesuchten Seite umstellen und ausrechnen.

Beispiel · $\alpha=37°$, Hypotenuse $=10$, Gegenkathete gesucht

Schritt 1gegeben: Hypotenuse; gesucht: Gegenkathete.

Schritt 2Gegenkathete & Hypotenuse → das ist der Sinus: $\sin 37°=\dfrac{\text{Gegen}}{10}$.

Schritt 3$\text{Gegen}=10\cdot\sin 37°\approx 6{,}0$.

So gehst du vor · ein Winkel ist gesucht (zwei Seiten gegeben)

Die zwei gegebenen Seiten relativ zum gesuchten Winkel benennen.
Die passende Funktion wählen (welche zwei Seiten hast du?).
Mit der Umkehrfunktion ($\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$) den Winkel bestimmen.

Beispiel · Gegenkathete $=3$, Ankathete $=4$, Winkel gesucht

Schritt 1gegeben: Gegen- und Ankathete.

Schritt 2Gegen & An → das ist der Tangens: $\tan\alpha=\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

Schritt 3$\alpha=\tan^{-1}(0{,}75)\approx 36{,}9°$.

Beispiel: die Leiter an der Wand

Aufgabe

Eine $5\,\text{m}$ lange Leiter steht $3\,\text{m}$ von der Wand entfernt.

Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?
Welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
Empfohlen sind etwa $70°$. Steht die Leiter gut?

Lösung

a) Höhe an der Wand. Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck; es geht nur um Seiten → Pythagoras. Die Leiter ist die Hypotenuse ($5$), der Bodenabstand eine Kathete ($3$), die Höhe die gesuchte Kathete:
$\text{Höhe}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\,\text{m}.$

b) Winkel mit dem Boden. Jetzt ist ein Winkel gesucht → Winkelfunktion. Am Boden kennen wir die Ankathete ($3$) und die Hypotenuse ($5$) → Kosinus:
$\cos\alpha=\dfrac{3}{5}=0{,}6 \Rightarrow \alpha=\cos^{-1}(0{,}6)\approx 53°.$

c) Bewertung. $53°$ ist deutlich flacher als die empfohlenen $70°$ – die Leiter steht zu weit von der Wand weg und sollte näher heran.

Erweiterung: das allgemeine Dreieck

Hat das Dreieck keinen rechten Winkel, helfen Pythagoras und die einfachen Winkelfunktionen nicht mehr. Dafür gibt es zwei Sätze. Vereinbarung: Seite $a$ liegt gegenüber Winkel $\alpha$, Seite $b$ gegenüber $\beta$, Seite $c$ gegenüber $\gamma$.

Allgemeines Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln alpha, beta, gamma

Sinussatz – wenn eine Seite mit ihrem Gegenwinkel bekannt ist

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Man nimmt sich immer zwei dieser Brüche und setzt sie gleich.

Beispiel: $a=6,\;\alpha=40°,\;\beta=60°$, gesucht ist $b$. Aus $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$ folgt $b=\dfrac{a\cdot\sin\beta}{\sin\alpha}=\dfrac{6\cdot\sin 60°}{\sin 40°}\approx 8{,}1$.

Kosinussatz – bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (oder drei Seiten)

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma$$

Beispiel: $a=5,\;b=7$, dazwischen $\gamma=60°$. $c^2=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\cos 60°=74-35=39 \Rightarrow c\approx 6{,}2$.

Kleiner Zusammenhang: Bei $\gamma=90°$ ist $\cos 90°=0$, und der Kosinussatz wird zu $c^2=a^2+b^2$ – dem Satz des Pythagoras. Der ist also nur der Spezialfall für den rechten Winkel.

Ähnlichkeit & Strahlensätze

Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, aber eine andere Größe – wie ein Foto und seine Vergrößerung. Bei ihnen sind entsprechende Winkel gleich und entsprechende Seiten im selben Verhältnis (dem Maßstab $k$).

Bei Dreiecken genügt schon ein einfaches Kennzeichen: Stimmen zwei Winkel überein, sind die Dreiecke ähnlich – und dann sind alle Seitenverhältnisse gleich.

Strahlensatz: zwei Strahlen aus S, von zwei Parallelen geschnitten — Zwei Strahlen aus $S$, geschnitten von zwei Parallelen.

Der Strahlensatz

Schneiden zwei parallele Geraden zwei von einem Punkt $S$ ausgehende Strahlen, so teilen sie diese im gleichen Verhältnis:

$$\frac{SA}{SB}=\frac{SC}{SD}$$

Beispiel · Baumhöhe über den Schatten

Ein $1\,\text{m}$ langer Stab wirft $1{,}5\,\text{m}$ Schatten, ein Baum daneben $12\,\text{m}$. Stab und Baum bilden mit ihren Schatten ähnliche Dreiecke.

$\dfrac{h}{12}=\dfrac{1}{1{,}5} \Rightarrow h=\dfrac{12}{1{,}5}=8$ → der Baum ist etwa $8\,\text{m}$ hoch.

Kreisberechnung

Kreis mit Radius r und einem Kreissektor mit Winkel alpha

Für den ganzen Kreis mit Radius $r$:

$U=2\pi r \qquad A=\pi r^2$

Ein Kreissektor („Tortenstück") mit dem Mittelpunktswinkel $\alpha$ ist der Bruchteil $\dfrac{\alpha}{360°}$ des ganzen Kreises – das gilt für die Bogenlänge $b$ genauso wie für die Sektorfläche:

$b=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi r \qquad A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2$

Beispiel · Kreis mit $r=6\,\text{cm}$

Umfang $U=2\pi\cdot6=12\pi\approx 37{,}7\,\text{cm}$; Fläche $A=\pi\cdot6^2=36\pi\approx 113{,}1\,\text{cm}^2$.

Viertelkreis ($\alpha=90°$, also der Bruchteil $\tfrac14$): Bogen $\approx 9{,}4\,\text{cm}$, Sektorfläche $\approx 28{,}3\,\text{cm}^2$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe · die Turmhöhe

Von einem Punkt $40\,\text{m}$ vor dem Fuß eines Turms sieht man die Spitze unter einem Höhenwinkel von $32°$.

Skizziere die Situation als rechtwinkliges Dreieck.
Wie hoch ist der Turm?

Hinweise – ohne fertige Lösung

Der Boden ist die Ankathete ($40\,\text{m}$), die Turmhöhe die Gegenkathete (gesucht), der Winkel sitzt beim Beobachter.
Gegen- und Ankathete zusammen → welche Funktion ist das? Danach nach der Höhe umstellen.
Rechner auf Grad stellen.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgabe · rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $a=6$ und $b=8$

Länge der Hypotenuse $c$
Winkel $\alpha$ gegenüber der Seite $a$
Winkel $\beta$ gegenüber der Seite $b$

Ergebnisse (Ansatz, ohne Zwischenschritte)

a) Pythagoras: $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
b) $\tan\alpha=\dfrac{6}{8}=0{,}75 \Rightarrow \alpha\approx 36{,}9°$.
c) $\beta=90°-36{,}9°=53{,}1°$ (die spitzen Winkel ergänzen sich zu $90°$).

Aufgabe · Ähnlichkeit & Kreis

Ein $2\,\text{m}$ hoher Pfahl wirft $3\,\text{m}$ Schatten. Wie hoch ist ein Baum mit $15\,\text{m}$ Schatten?
Umfang und Fläche eines Kreises mit $r=5\,\text{cm}$.

Ergebnisse

a) $\dfrac{h}{15}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow h=10\,\text{m}$.
b) $U=2\pi\cdot5=10\pi\approx 31{,}4\,\text{cm}$; $A=\pi\cdot25\approx 78{,}5\,\text{cm}^2$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Der Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Kein rechter Winkel → Sinus-/Kosinussatz.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist im Pythagoras immer das $c$.
Gegen- und Ankathete hängen vom Winkel ab. Beim anderen spitzen Winkel vertauschen sie sich – erst markieren, dann benennen.
Rechner auf Grad (DEG), nicht RAD.
Winkel gesucht → Umkehrfunktion $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ benutzen, nicht $\sin,\cos,\tan$.
Beim Umstellen aufpassen, ob die gesuchte Größe oben oder unten im Bruch steht.
Strahlensatz/Ähnlichkeit: immer einander entsprechende Strecken ins Verhältnis setzen – gleiche Richtung, nicht durcheinander.
Kreis: Fläche $\pi r^2$ und Umfang $2\pi r$ nicht verwechseln; beim Sektor zuerst den Bruchteil $\tfrac{\alpha}{360°}$ bilden. Achtung: gegeben ist manchmal der Durchmesser ($r=\tfrac{d}{2}$).
🟩 Oberschule: Formelsammlung nutzen – die Sätze und Formeln stehen dort.