Block 3

Potenzen & Wurzeln

Eine Potenz ist eine Kurzschrift für „immer wieder dasselbe multiplizieren" – praktisch überall dort, wo Zahlen sehr groß oder sehr klein werden: Speichergrößen, Entfernungen im Weltall, Bakterien, die sich verdoppeln.

Wurzeln sind der Rückweg dazu. Und ein Trick macht das ganze Thema einfacher:

Der rote Faden: Eine Wurzel ist selbst eine Potenz – nur mit einem Bruch als Exponent ($\sqrt{a}=a^{1/2}$). Deshalb reicht ein einziger Satz Regeln für Potenzen und Wurzeln zusammen.
✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule
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Potenzen & die Potenzgesetze

ohne Rechner
Aufbau einer Potenz. $a^n$ bedeutet: die Basis $a$ wird $n$-mal mit sich selbst multipliziert. Das $n$ heißt Exponent.  Beispiel: $2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$.
Die vier Potenzgesetze
1 · gleiche Basis, mal$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$2^3\cdot2^2=2^5$
2 · gleiche Basis, geteilt$a^m:a^n=a^{m-n}$$2^5:2^2=2^3$
3 · Potenz einer Potenz$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$(2^3)^2=2^6$
4 · gleicher Exponent$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$$2^3\cdot5^3=10^3$
Warum addieren sich bei Regel 1 die Exponenten?

$2^3$ sind drei Zweien, $2^2$ sind zwei Zweien – aneinandergehängt sind es fünf Zweien:

222 · 22 = 22222 = $2^{3+2}=2^5$
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Null- und negative Exponenten

ohne Rechner
Zwei Sonderfälle – und woher sie kommen

$a^0=1$ (für $a\ne0$). Warum? Nach Regel 2 ist $a^n:a^n=a^{n-n}=a^0$ – und etwas durch sich selbst geteilt ist $1$. Also muss $a^0=1$ sein.

$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, keine negative Zahl.  Beispiel: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$.

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Zehnerpotenzen & wissenschaftliche Schreibweise

Sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt

Man schreibt die Zahl als eine Ziffer vor dem Komma mal einer Zehnerpotenz: $a\cdot10^{k}$ mit $1\le a<10$. Das Vorzeichen von $k$ sagt, in welche Richtung das Komma wandert.

$47000=4{,}7\cdot10^{4} \qquad\qquad 0{,}00052=5{,}2\cdot10^{-4}$
Beispiel · Rechnen damit (Potenzgesetz 1)
$(3\cdot10^5)\cdot(2\cdot10^3)=(3\cdot2)\cdot10^{5+3}=6\cdot10^{8}$.
Die Vorzahlen malnehmen, die Zehnerpotenzen nach Regel 1 zusammenfassen.
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Wurzeln

Was ist eine Wurzel?

$\sqrt{a}$ ist die (nicht-negative) Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt.  $\sqrt{9}=3$, weil $3^2=9$.

Und der rote Faden: $\sqrt{a}=a^{1/2}$, allgemein $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$. Weil eine Wurzel eine Potenz ist, gelten für sie dieselben Regeln.

Einheitsquadrat mit Diagonale der Länge Wurzel 2
$\sqrt{2}$ ist die Diagonale im Einheitsquadrat: $1^2+1^2=(\sqrt2)^2$.
Wurzelgesetze & teilweise Wurzelziehen
Produkt$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4$
Quotient$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt9=3$

Teilweise Wurzelziehen – den größten Quadratzahl-Faktor herausziehen:

$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3 \qquad\qquad \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$

Steht eine Wurzel im Nenner, kann man sie durch Erweitern „rationalmachen": $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Vereinfache  $\dfrac{a^6\cdot a^{-2}}{a^{3}}$  und schreibe das Ergebnis ohne negativen Exponenten.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. $3^4\cdot3^{-2}$
  2. $(x^3)^2\cdot x$
  3. $\sqrt{72}$ so weit wie möglich vereinfachen
  4. $0{,}00047$ in wissenschaftlicher Schreibweise
Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es