Block 2

Prozente, Zinsen & Wachstum

Prozente stecken in fast jedem Alltagsbetrag: im Rabatt an der Kasse, in der Mehrwertsteuer, in den Zinsen fürs Ersparte oder einen Kredit, im Wachstum eines Guthabens.

Dahinter steckt eine einzige kleine Idee – und die zieht sich durch den ganzen Block:

Der rote Faden: Ein Prozentsatz ist nichts anderes als ein Faktor, mit dem man multipliziert. Alles Weitere – Erhöhen, Vermindern, Zinsen, Zinseszins – ist derselbe Faktor, nur ein- oder mehrmals angewandt.

✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule

Prozentrechnung – die Grundlage

oft ohne Rechner

Drei Größen, eine Beziehung

Der Grundwert $G$ ist das Ganze (100 %). Der Prozentwert $W$ ist der Anteil davon. Der Prozentsatz $p$ sagt, wie groß der Anteil ist. Sie hängen so zusammen:

$$W = G \cdot \frac{p}{100}$$

Je nachdem, welche der drei Größen fehlt, stellt man diese eine Gleichung um.

Prozentwert gesucht

$W=G\cdot\dfrac{p}{100}$

20 % von 150: $150\cdot0{,}2=30$.

Grundwert gesucht

$G=\dfrac{W}{p}\cdot 100$

30 sind 20 %: $\dfrac{30}{0{,}2}=150$.

Prozentsatz gesucht

$\dfrac{p}{100}=\dfrac{W}{G}$

30 von 150: $\dfrac{30}{150}=0{,}2=20$ %.

Erhöhen & Vermindern mit dem Faktor

Der Trick: nicht erst rechnen, dann addieren – sondern gleich den Faktor nehmen

Wer einen Wert um $p$ Prozent erhöht, multipliziert mit $\left(1+\frac{p}{100}\right)$; wer ihn vermindert, mit $\left(1-\frac{p}{100}\right)$. Ein Schritt statt zwei:

um 19 % erhöhen (z. B. Mehrwertsteuer)⟶· 1,19

um 25 % vermindern (z. B. Rabatt)⟶· 0,75

Beispiele

Eine Jacke für 80 € mit 25 % Rabatt: $80\cdot0{,}75=60$ → neuer Preis 60 €.

200 € netto plus 19 % Mehrwertsteuer: $200\cdot1{,}19=238$ → Bruttopreis 238 €.

Die häufigste Falle: rückwärts rechnen

Ein Preis mit 19 % Mehrwertsteuer beträgt 238 €. Wie hoch war der Nettopreis? Nicht $238\cdot0{,}81$! Der Bruttopreis ist ja $\text{netto}\cdot1{,}19$, also rechnet man zurück durch Teilen:

$238 : 1{,}19 = 200$ (€ netto)

Zinsen

Zinsen sind angewandte Prozentrechnung

Legt man ein Kapital $K$ zum Zinssatz $p$ an, bekommt man pro Jahr die Zinsen $Z$ – das ist einfach $p$ Prozent von $K$:

$$Z = K \cdot \frac{p}{100}$$

Für einen Teil des Jahres nimmt man den entsprechenden Bruchteil, z. B. $\frac{m}{12}$ für $m$ Monate.

Beispiel

2000 € zu 3 % für ein Jahr: $Z=2000\cdot0{,}03=60$ → 60 € Zinsen.

Dieselbe Anlage, aber nur 8 Monate: $60\cdot\dfrac{8}{12}=40$ → 40 € Zinsen.

Zinseszins & exponentielles Wachstum

Rechner nötig

Derselbe Faktor, viele Jahre hintereinander

Bleiben die Zinsen auf dem Konto, bekommt man im nächsten Jahr auch auf die Zinsen Zinsen. Jedes Jahr wird das Kapital mit demselben Wachstumsfaktor $q=1+\frac{p}{100}$ multipliziert. Nach $n$ Jahren also $n$-mal:

$$K_n = K_0 \cdot q^{\,n}$$

Zwei Beispiele – Zunahme und Abnahme

Guthaben: 1000 € zu 5 % über 10 Jahre. $q=1{,}05$: $1000\cdot1{,}05^{10}\approx 1628{,}89$ → ca. 1629 €.

Wertverlust: ein Auto für 20000 € verliert jährlich 15 %. $q=0{,}85$: $20000\cdot0{,}85^{3}\approx 12282{,}50$ → nach 3 Jahren ca. 12283 €.

Vergleich Zinseszins und einfache Zinsen über 20 Jahre — Beim Zinseszins wachsen auch die Zinsen mit – deshalb zieht die Kurve mit der Zeit deutlich davon.

Nur am Gymnasium: Fragt eine Aufgabe nach der Anzahl der Jahre (also nach $n$ auflösen, wenn $K_n$ bekannt ist), braucht man den Logarithmus. An der Oberschule bleibt es beim Einsetzen und Ausrechnen nach vorn.
Mini-Beispiel: Wann sind aus 1000 € bei 5 % genau 1500 € geworden? $1000\cdot1{,}05^{\,n}=1500 \Rightarrow 1{,}05^{\,n}=1{,}5 \Rightarrow n=\dfrac{\log 1{,}5}{\log 1{,}05}\approx 8{,}3$ → nach 9 Jahren ist das Guthaben erstmals über 1500 €.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe · der Fernseher

Ein Fernseher wird um 20 % reduziert und kostet danach 360 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

Hinweise – ohne fertige Lösung

Um 20 % vermindern heißt mit welchem Faktor multiplizieren? Der neue Preis ist also „alter Preis $\cdot$ Faktor".
Gesucht ist der alte Preis – das ist die Rückwärts-Rechnung: teilen statt mit einem anderen Prozentsatz multiplizieren.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Wie viel sind 12 % von 250 €?
Ein Pullover kostet nach 30 % Rabatt noch 42 €. Wie teuer war er vorher?
1500 € werden 4 Jahre lang mit 2 % pro Jahr verzinst (Zinseszins). Endkapital?

Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

a) $250\cdot0{,}12=30$ → 30 €.
b) Rabatt-Faktor $0{,}7$, rückwärts: $42:0{,}7=60$ → 60 €.
c) $q=1{,}02$: $1500\cdot1{,}02^{4}\approx 1623{,}66$ → ca. 1623,66 €.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Rückwärts wird geteilt. Vom erhöhten/verminderten Wert auf den Ausgangswert: durch den Faktor teilen, nicht einen Prozentsatz abziehen.
Prozent vom richtigen Grundwert. „20 % Rabatt" bezieht sich immer auf den ursprünglichen Preis (100 %).
Auf- und Abschlag heben sich nicht auf. Erst +10 %, dann −10 % ergibt nicht wieder den Startwert ($\cdot1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$).
Zinseszins ≠ einfache Zinsen. Über mehrere Jahre mit $q^{\,n}$ rechnen, nicht die Jahreszinsen einfach mal Jahre.
Beim Wachstumsfaktor die Zahl richtig bilden: $+5\,\% \to 1{,}05$, $-15\,\% \to 0{,}85$.
🟩 Oberschule: Formelsammlung nutzen – die Zins- und Wachstumsformeln stehen dort.