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Terme, Gleichungen & Gleichungssysteme

Das hier ist das Handwerkszeug für fast jedes andere Thema: Immer wenn du „nach $x$ auflöst" oder eine Textaufgabe in Mathe übersetzt, brauchst du es.

Es baut in drei Stufen aufeinander auf – erst Terme umformen, dann damit Gleichungen lösen, dann zwei Gleichungen gleichzeitig. Genau in dieser Reihenfolge gehen wir vor.

1 · Terme umformen
→
2 · Gleichungen lösen
→
3 · Gleichungssysteme
✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule
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Terme umformen

ohne Rechner
Term oder Gleichung? Ein Term ist ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen, z. B. $3x+5$. Man kann ihn nur umformen (vereinfachen), nicht „lösen". Erst mit einem $=$ wird daraus eine Gleichung.
Die vier wichtigsten Umformungen
  • Ausmultiplizieren: $a(b+c)=ab+ac$.  Achtung beim Minus: $-(x-3)=-x+3$.
  • Ausklammern: $6x+9=3(2x+3)$ – der Rückweg.
  • Gleichartiges zusammenfassen: nur $x$ mit $x$, Zahlen mit Zahlen.
  • Binomische Formeln – die drei tauchen immer wieder auf:
1. binomische Formel$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. binomische Formel$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. binomische Formel$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
So vereinfachst du einen Term
  1. Klammern auflösen (ausmultiplizieren bzw. binomische Formel).
  2. Gleichartige Glieder zusammenfassen.
  3. Wenn möglich, wieder ausklammern.
Beispiel · $3(x+2)-(x-4)$
Schritt 1Klammern auflösen: $3x+6-x+4$  (das Minus dreht beide Vorzeichen in $(x-4)$)
Schritt 2zusammenfassen: $2x+10$.
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Gleichungen lösen

Die Idee: eine Gleichung ist eine Waage

Links und rechts vom $=$ steht dasselbe – wie zwei gleich schwere Waagschalen. Solange du auf beiden Seiten genau dasselbe tust (dieselbe Zahl addierst, beide durch dieselbe Zahl teilst …), bleibt die Waage im Gleichgewicht. Ziel ist, $x$ allein auf eine Seite zu bringen. Diese erlaubten Schritte schreibt man rechts hinter einem senkrechten Strich auf.

So gehst du vor
  1. Klammern auflösen und beide Seiten vereinfachen.
  2. Alle $x$ auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere (mit $+$ / $-$ auf beiden Seiten).
  3. Durch die Zahl vor dem $x$ teilen – dann steht $x$ allein.
Beispiel · $3(x+2)=x+10$
$3(x+2)=x+10$ausmultiplizieren
$3x+6=x+10$$-\,x$
$2x+6=10$$-\,6$
$2x=4$$:\,2$
$x=2$

Probe (Wert einsetzen, beide Seiten müssen gleich sein): links $3(2+2)=12$, rechts $2+10=12$. ✓

Kommen Brüche vor, multiplizierst du zuerst die ganze Gleichung mit dem Nenner – dann sind sie weg. Verschwindet beim Umformen das $x$ ganz, gibt es entweder keine Lösung (falsche Aussage wie $3=5$) oder unendlich viele (wahre Aussage wie $4=4$).
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Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Was ist das – und was bedeutet es?

Jetzt gibt es zwei Unbekannte ($x$ und $y$) und dafür zwei Gleichungen. Man braucht beide, um beide Unbekannten festzulegen.

Anschaulich ist jede Gleichung eine Gerade. Die Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden – der eine Punkt $(x\,|\,y)$, der auf beiden liegt.

Drei Wege – welcher wann?
  • Additionsverfahren: wenn eine Variable in beiden Gleichungen gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen hat (z. B. $+y$ und $-y$) → Gleichungen addieren, eine Variable fällt weg.
  • Einsetzungsverfahren: wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist → sie in die andere einsetzen.
  • Gleichsetzungsverfahren: wenn beide nach derselben Variablen aufgelöst sind (z. B. beide $y=\ldots$) → gleichsetzen.
Beispiel · Additionsverfahren
$\text{I}\;\;x+y=5 \qquad \text{II}\;\;x-y=1$
Schritt 1$y$ hat $+y$ und $-y$ → addieren.  $\text{I}+\text{II}:\;2x=6$.
Schritt 2$x=3$.
Schritt 3in I einsetzen: $3+y=5 \Rightarrow y=2$.
→ Lösung: $(3\,|\,2)$.
Zwei Geraden schneiden sich im Punkt (3 | 2)
Beide Geraden treffen sich genau in $(3\,|\,2)$.
Die anderen beiden Wege · je ein Beispiel

Einsetzungsverfahren – eine Gleichung ist schon nach einer Variablen aufgelöst:

$\text{I}\;\;y=2x-1 \qquad \text{II}\;\;x+y=5$.  I in II einsetzen: $x+(2x-1)=5 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2$, dann $y=3$.  → $(2\,|\,3)$.

Gleichsetzungsverfahren – beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst:

$\text{I}\;\;y=2x-1 \qquad \text{II}\;\;y=-x+5$.  gleichsetzen: $2x-1=-x+5 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2$, dann $y=3$.  → $(2\,|\,3)$.

Nicht jedes LGS hat genau eine Lösung – das hängt davon ab, wie die beiden Geraden zueinander liegen:

Drei Fälle: eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele
Schneiden (eine Lösung) · parallel (keine) · deckungsgleich (unendlich viele).

Anwendung: vom Text zur Gleichung

In der Prüfung stecken diese Werkzeuge fast immer in einer Textaufgabe. Der Trick ist die Übersetzung:

So übersetzt du Text in Mathe
  1. Was ist gesucht? Dafür Variablen benennen ($x$, oder $x$ und $y$).
  2. Die Aussagen des Textes als Gleichung(en) schreiben.
  3. Lösen (Stufe 2 oder 3).
  4. Antwortsatz schreiben und im Sachzusammenhang prüfen.
Aufgabe · Kinokasse

2 Erwachsene und 3 Kinder zahlen zusammen 32 €. 1 Erwachsener und 2 Kinder zahlen 18 €. Was kostet je eine Erwachsenen- und eine Kinderkarte?

Lösung
Schritt 1$E$ = Preis Erwachsener, $K$ = Preis Kind.
Schritt 2$\text{I}\;\;2E+3K=32 \qquad \text{II}\;\;E+2K=18$.
Schritt 3II ist leicht auflösbar → Einsetzungsverfahren: $E=18-2K$ in I:
$2(18-2K)+3K=32 \Rightarrow 36-K=32 \Rightarrow K=4$,  dann $E=18-8=10$.
Schritt 4Eine Erwachsenenkarte kostet 10 €, eine Kinderkarte 4 €.  Probe: $2\cdot10+3\cdot4=32$ ✓, $10+2\cdot4=18$ ✓.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Löse die Gleichung  $4x-3=2(x+5)$.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. Vereinfache $2(x+3)-4(x-1)$.
  2. Löse $3x-7=x+5$.
  3. Löse das LGS  $x+y=7$  und  $2x-y=2$.
Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es